Как найти площадь треугольника

Площадь характеризует размер геометрической фигуры (треугольника, прямоугольника, квадрата) и показывает, сколько она занимает места на поверхности плоскости. Единицы её измерения — мм², см², м² и т. д. Этот показатель используется для решения многих задач по математике и геометрии. Рассказываем, как вычислить площадь треугольника разными способами.

Через основание и высоту

Площадь любого треугольника легче всего найти, если известны длины одной из его сторон и высоты, проведённой к ней.

Не стоит путать высоту с гипотенузой — она делит пополам угол, из которого выходит.

Зная эти параметры, необходимо умножить длину основания на длину высоты, проведённой к нему, и разделить полученную цифру на 2. Формула нахождения площади треугольника выглядит так:

S = ½ ah, где, а — размер основания, h — длина высоты.

Приведём произвольный пример. Известно, что одна сторона треугольника равна 10 см, а высота — 6 см. Начнём вычислять: чтобы найти площадь, умножим 10 на 6 и разделим на 2. В результате получим 30. S = 10 х 6: 2 = 30 см².

Через две стороны и угол

Ещё один вид вычисления позволяет найти искомую величину, если известны размеры двух сторон и градус угла между ними. В этом случае необходимо найти произведение сторон, поделить полученное число пополам и умножить на синус угла:

S = ½ ab sin y, где a и b — величина сторон, у — угол между ними.

Пример расчётов. Известно, что стороны треугольника составляют 4 и 6 см. Угол между этими элементами — 30 градусов. S = 4 х 6: 2 х sin 30 = 12 х ½ = 6 см².

Рассмотрим более сложную задачу: известно, что площадь равнобедренного треугольника — 100 см², а угол вершины равен 30 градусов. Нужно найти длину боковых сторон. Подставим имеющиеся значения в формулу и посчитаем: 100 = ½ х, а х, а х sin 30 или 100 = ½ х а² х ½. Получается, что, а = √(400) = 20 см. Длина боковых сторон — 20 см.

По трём сторонам (формула Герона)

Этот способ используют часто, поскольку во многих задачах известны именно длины сторон треугольников. Формула, как найти площадь по 3 сторонам треугольника, является большой, но простой:

S = √(р (р — а)(р — b)(p — c)), где a, b и с — значения длин сторон, р — половина периметра.

Напомним, чтобы вычислить полупериметр, нужно определить сумму всех сторон нашей фигуры и разделить её пополам: р = ½ (a + b + c). После расчёта полупериметра вы сможете использовать формулу площади.

Рассчитаем площадь простого треугольника со сторонами 4, 6 и 8 см. В этом поможет представленная выше формула. Сначала нужно ввести полупериметр: р = (4 + 6 + 8) / 2 = 9. Теперь следует переходить к определению площади фигуры через корень: S = √(9 (9 – 4) (9 – 6) (9 – 8)) = √(9 Х 5 Х 3 Х 1) = 11,62 см².

Через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника можно находить через радиус вписанной окружности. Способ заключается в следующем: чтобы определить искомую величину, достаточно умножить размер полупериметра фигуры на радиус круга, вписанного в треугольник. Чтобы вычислить искомую величину, нужно использовать формулу:

S = pr, где p — полупериметр, r — радиус окружности.

Например, нам известно, что стороны треугольника равны: малая — 2, большая — 6 и средняя — 4 см, а радиус вписанной в него окружности — 4 см. Начнём считать: S = (2 + 6 + 4) / 2 х 4 = 9 х 4 = 24 см². Правильный ответ: площадь составляет 24 квадратных сантиметра.

Через радиус описанной окружности

Узнать, чему равна площадь треугольника, можно также при помощи радиуса описанной вокруг него окружности. Нужно найти отношение произведения всех сторон к радиусу, умноженному на 4. Выражение:

S = abc/4R, где abc — стороны треугольника, а R — радиус круга, лежащего снаружи треугольника.

Рассмотрим пример.

Исходные данные: разносторонний треугольник имеет стороны 3, 4 и 5 см. Допустим, что радиус описанного вокруг него круга составляет 3 см. Требуется измерить его площадь. Она вычисляется таким образом: (3 х 4 х 5) / 4 х 3 = 60/12 = 5 см².

Также существуют различные частные теоремы и формулы для определения площади. При поиске площади прямоугольного треугольника (один угол фигуры этого типа прямой — 90 градусов), нужно умножить длину его катетов и поделить на 2. Если искать площадь равностороннего треугольника, можно использовать формулу: S = a²√(3)/4, где a² — сторона треугольника в квадрате.

Таблица с формулами площади треугольника

Мы показали основные формулы площади, которые можно выбрать в зависимости от условий задачи, свойств и особенностей треугольной фигуры. Их использование встречается в основном в геометрии, а знание проверяют на ЕГЭ по математике.